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层次分析：权重到判断矩阵的逆过程

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原帖地址（ http://blog.sina.com.cn/s/blog_c9d4e1380102xiof.html ），作者也是本人。

在对多个层次指标对重要性进行主观判断时，往往会面临跨层不可比的问题，层次分析正是为了解决这问题而诞生的方法。随着计算工具的完善，层次分析的实现变得越来越简单，但是层次分析为什么会生效？如果已经有一个理论上的权重，能否根据该权重逆向生成判断矩阵？本文将围绕上述两个基本问题展开介绍。

层次分析的一般流程如下：在单层权重计算的过程中，对于一个待决策层（假设有n个指标），需要先构建判断矩阵，构建判断矩阵的方法可以参考这一篇博文（ https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4278049.html ）；之后需要检验该判断矩阵是否可以通过一致性检验。

在很多实操的时候，一致性检验在某些时候会很难通过。实际上，一致性检验是层次分析生效的保证。换句话说，一致性检验是判断矩阵的一个质量控制手段，一个逻辑无法自洽的判断矩阵，是无法通过一致性检验的。有一定线性代数基础的人都知道，方阵的秩是的极大无关组的向量个数。在判断矩阵中，每一行都代表着当前指标与其余指标的相对重要性，当该判断矩阵完全自洽的时候，所有的行应该是成比例的，换言之，判断矩阵的秩应该为1。此时，对称方阵秩为1，非零特征值只有1个，因此为矩阵的迹（也就是对角线的和），为n。所以在一致性检验无法通过的时候，只需要检查是不是出现了相对重要性矛盾的地方，进行调整即可。

那么，如果给定一个权重，是否可以逆向生成判断矩阵呢？当然是可以的。层次分析中输出到权向量，实际上就是特征向量。将特征向量作为权向量的依据是，每一个特征向量都是矩阵空间中的一个向量，而由于判断矩阵的空间理论上只有一个维度，因此只能有一个线性无关的特征向量，那么则个特征向量自然也就等价于判断矩阵的每一行，也就自然是我们要求的权向量。所以说，给定一个权向量，返回判断矩阵，相当于将该权向量重复n列，形成一个方阵，之后按照同乘或者同除的方法，将这个方阵变成对角线为1，其余元素均近似为1-9整数或者整数分之一的数值即可。以下是我常用来逆向生成判断矩阵的R语言code：