Question

坐标变换(1)—向量和坐标系

Answer 1

在介绍向量之前，有必要介绍一下标量(scalar)，标量是一个数字，只有大小，没有方向(不过有正负)。例如温度，重量等。

向量(vector)是多个数字组成的列表。 个有次序的数 所组成的数组列表称为 维向量。
向量可以有两种方式去描述：

如下向量 ，

设 为一个非空集合， 为实数域(这里只讨论实数域)。如果对于任意两个元素 ,总有唯一的元素 与之对应，则称为 的和，记为 。对于任意数 与任意元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 和 的积，记为 ，并且和与积两种运算满足以下8条运算规则(设 ， )：

那么 称为实数域 上的 线性空间 ( 向量空间 )， 中的元素称为(实) 向量 。线性空间中， 对加法和数乘两种运算封闭 。

在线性空间 中，如果存在 个元素 ，满足：

则称 为线性空间 的一组 基 ， 称为线性空间 的 维数 。

因为 是一组基，所以线性空间 中任意的元素 ，总有且仅有一组有序数字 ，使得，

这组有序数字就称为元素 在基 下的坐标，记做，

当然这个坐标也就是最开始提到的 向量 ，而 基 也就是经常提到的 坐标系 ，不同的坐标系只是对应了不同的基。

以三维线性空间为例，任何三个线性无关的向量都能构成一组基，都对应一个坐标系。 同一个向量 在不同的基下的坐标不同，也就是在不同的坐标系下的描述不同( 但向量是同一个 )。