Question

为什么混合运算要先乘除后加减？

Answer 1

      加法、减法、乘法、除法统称为四则混合运算。加法、减法在代数中表示比较简单，低级的运算，所以加减混合为一级运算，乘除法为是二级运算。无论一级或二级运算，所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。也就是把两个或两个以上的分部集合，组成一个整体集合。这个整体集合可能是大集合包含小集合，也可能是几个并列集合合并。

      从本质上，混合运算都是可以通过分步完成，因此所有的混合运算的结果都应该与分步运算的结果一致，所以在混合运算中，关于运算次序，有两个基本法则：有括号先算括号中的算式；没有括号，先乘除后加减。

      显然，这两个基本法则是一种规定。可是，为什么这样规定呢？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？对于这个问题，我们分两层来谈。第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。

　　（1）规定运算顺序的必要性。先举两个例子予以说明。

　　例1: 1个蛋糕6元，1个面包3元，小熊买了1个蛋糕4个面包一共多少钱？

　　分析题意：

算式一  4个面包的钱数＋1个蛋糕的钱数=小熊应付的总钱数

          4✖3+6

算式二  1个蛋糕的钱数＋4个面包的钱数=小熊应付的总线数

            6＋4✖3

　　在这道题中，这两个算式中一种是乘法在前，一种是乘法在后，解题时都要先求出面包的总价钱，再求一共需要多少钱。4X3是个完整的集合，所以不管乘法在前还是在后，都要先算乘法，后算加法。根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。

　　例2 淘气买2支钢笔花了16元，一支圆珠笔6元，一支钢笔比一支圆珠笔贵多少元？

分析题意：

算式： 一支钢笔的钱－一支圆珠笔的钱=一支钢笔比圆珠笔贵的钱

        16➗2－6

  在这道题中，要想求一支钢笔比一支圆珠笔贵的钱，先要求出一支钢笔的钱，根据这道题先算除法后算乘法合理。

  例3班里有男生29人，女生25人，一条船可以坐9人，需要几条船？

　　解答这道题的时候应该先求出一共有多少人乘船，即把男生和女生的人数加起来，用加法计算，列式为29＋25=54人，然后再看54里面有几个9，列式为54➗9=6条，得出需要6条船。根据分析可知，题中两个算式可以写成个综合算式。如果列成29＋25➗9，计算时先算除法，与题意不符，题中需要先求出一共有多少人，这时就需要添加小括号来改变运算顺序，列式为（29＋25）➗9

也就是说在这道题中先算加法，后算除法是符合题意的，是合情合理的。使我们看出，在日常生活中需要先算乘法除法的与需要先算加法减法的事例都不少。如果永远用分步式计算的话就不必规定运算顺序了。只因为列出综合式，就得规定出前后的顺序。

（2）为什么要规定先乘除而后加减呢？

应该从法则的定义说起，乘法是相同数连加的简便算法，除法是乘法的逆运算，除法也可以看作是相同数的连减。就以加法和乘法来说吧：每盒乒乓球6个，王小通买了1盒，张大力买了4盒，他们俩人共买乒乓球多少个？我们可以列出如下的算式：

　　6＋6×4.

　　由于乘法的定义是相同数的连加，如果我们把乘法再返回加法的话，那么上面的式子应改写为：

                                         

　　假如不怕麻烦的话，可以按照6＋6＋6＋6＋6来计算，一个一个地加，得出30个乒乓球。

再引申一步说明，乘方是相同数的连乘，它的定义是：n个a相乘的积，叫做a的n次乘方。我们也\\规定了在一个算式里，有第二级运算也有第三级运算的时候，应该先算第三级运算，后算第二级运算。

总之，运算顺序是由于法则本身的形成及法则之间的关系而规定的，正因为由第一级运算发展到第二级运算，由第二级运算发展到第三级运算，所以运算顺序规定为：先三级，再二级，后一级。