Question

定积分是∫xf(x)dx吗?

Answer 1

∫xf(x)dx只是定积分的基础表达式。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意穗纤定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

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连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只尘族轮有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值派信S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。