Question

等价无穷小在X趋于无穷下能用么？能用的话怎么判断？

Answer 1

等价无穷小代换, 只要x→∞时,函数内部是无穷小即可。

理由如下：

1、因为，在x→∞时，总存在这样的x：使得sinx=0。

所以，总存在值为0的x*sinx，于是x*sinx不是无穷大。

2、因为，有界量乘无穷小量仍为无穷小量。

x=kπ，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsinkπ=0。

x=2kπ+1/2π，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsin2kπ+1/2π=1。

当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。