Question

如何理解函数可积必有界?

Answer 1

理解函数可积必有界：复变函数科技必有界，因为他是个有趣函数。

积分的定义就是一个黎曼积分和的极限，这个极限与被积曲线（在定积分是被积区间）的分割无关，与分割后选近似点无关。如果被积函数无界，就一定可以找到一个分割后的选点，使得黎曼积分和也是无界的，所以就是（黎曼）不可积的。

数学上

可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。