Question

怎样证明2个相似矩阵的秩相同 ,不要用不等式证明的 ,

Answer 1

A与B相似,则存在可逆矩阵P使得 P^(-1) AP = B.
有个结论:当P,Q可逆时 r(A) = r(PA) = r(AQ).
[这是因为可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积,而初等矩阵不改变矩阵的秩]
所以有 r(B) = r( P^(-1) AP ) = r(AP ) = r(A).