已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b²≠0,求证:a²+b²+c²=ab+bc+ca
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ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1
abx+b^2y=b
abx+acy=a
(b^2-ac)y=b-a
y=(b-a)/(b^2-ac) （1）
同理ax+by=1
acx+bcy=c
b^2x+bcy=b
(b^2-ac)x=b-c
x=（b-c）/(b^2-ac)（2）
将（1）（2）代入cx+ay=1
c（b-c）/(b^2-ac)+a(b-a)/(b^2-ac)=1
bc-c^2+ab-a^2=b^2-ac
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
abx+b^2y=b
abx+acy=a
(b^2-ac)y=b-a
y=(b-a)/(b^2-ac) （1）
同理ax+by=1
acx+bcy=c
b^2x+bcy=b
(b^2-ac)x=b-c
x=（b-c）/(b^2-ac)（2）
将（1）（2）代入cx+ay=1
c（b-c）/(b^2-ac)+a(b-a)/(b^2-ac)=1
bc-c^2+ab-a^2=b^2-ac
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
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