Question

傅里叶变换

Answer 1

虽然是通信专业的学生，但是研究生阶段一直做着与通信不那么相关的图像视频的东西。工作后开始进入无线通信的领域，一边看协议的同时一边恶补已经还给老师的通信基础知识。

OFDM技术是4G和5G中都很重要的一个知识点。我们都知道OFDM是通过FFT来是实现的。那么FFT的基础又是DFT。DFT，FFT是令很多通信专业本科生头疼的课程DSP中的重要内容。从网上搜刮了一些相关资料，觉得李永乐老师的视频是最清晰明了的。这里记录一下。

1, 变换与反变换

在直角坐标系中有两个向量A和B，单看上去，这两个向量是两个图。我们也可以用数字的形式来表示这两个图。A对应（2，1），B对应（1，2）。这种使用图和数字两种形式来表示向量的方法就可以看作是一种简单的变换与反变换。见图1.

2. 标准正交基

同样我们还是直角坐标系中的两个向量，ex和ey. 我们知道这两个向量有个特点就是他们之间相互内积为0，而他们对自己做内积则值为1.我们就说ex和ey是标准正交基。见图2.

3.傅里叶级数

我们在大学的高等数学里面学过傅里叶级数。他是法国数学家傅里叶发现的。他发现任何周期函数都可以表示成正弦和余弦的级数和的形式。见图3.那么我们就可以将一个周期函数分解成无数个正弦（余弦）和的形式。我们把这些和在三维中画出来。从不同的角度，看到的东西是不一样的。见图4.从y轴的方向上看，它是一个周期函数，从z轴看过去，它是各个频率分量上的值（值的大小就是振幅的大小），这就是频域表达。再细心看会发现，每个频率上的起始点是不一样的，这就是相位的不同。这里面不仅引入了时域，频域的概念，而且引入了频率，振幅和相位的概念。

4.欧拉公式

5.傅里叶变换

傅里叶级数提出来之后，有好学的同学就要问了，那不是周期的函数我们怎么提取它的频率分量呢？这里我们就会用到标准正交基的概念了。根据正交基的定义，我们知道1，sinwt和coswt也是正交基。那么如果我们把这个非周期函数与正弦函数做积分将会得到什么样的结果呢？结果就会是含有w的项不为零，不含w的项为零。从而就得到了傅里叶变换。

6. DFT

学过DSP课程我们知道，时域和频域上的信号有这样的关系：

那么在实际应用中我没办法准确的表示出连续信号，但是可以准确的表示出离散信号。一对发送端和接收端都喜欢离散的信号，因为能够用数字准确的表示出来。但是我们日常生活中的信号一般并不是周期信号，聪明的人就会想到，我们可以把它离散化，再周期化，不就可以了吗。是的，就这么干。而实际上DFT也就是这么干的。

DFT的变换与反变换公式：这里不做详细推导，网上有很多推导过程。

但是当n很大时，计算量很大，这就引入了FFT。1965年,库利(cooley)和图基(Tukey)首先提出FFT算法.对于N点DFT,仅需(N/2)log2N 次复数乘法运算.例如N=1024=2的10次幂时，需要(1024/2)log2 2的10次幂 =512*10=5120次。5120/1048576=4.88% ,速度提高20倍。