Question

是否存在这样一个函数,其n阶导数处处连续但处处不可导？

Answer 1

一个连续函数处处可导，而它的导函数不一定连续。

例如分段函数 f(x)：

当x=0时，函数值为0。

当x≠0时，函数f(x)=x^2*sin(1/x)。

其导数 g(x)显然x≠0时，g(x)=f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)；g(0)=f'(0)=0（利用定义可以求解，这里过程略）但是g(x)在x=0处显然不连续（按照定义判断吧，x=0处的左右极限均不存在），导函数处处不连续的就不知道，是不是有这样的函数一定满足。

简介：

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。