Question

为什么（单根不是重根）特征值对应的线性无关的特征向量只有一个?

Answer 1

（单根不是重根）特征值对应的线性无关的特征向量只有一个的原因：假定A*x=c*x，x0，c是单根。把x扩张成非奇异矩阵P，即P=（x，*），那么Z=P^{-1}AP必定是下面的样子，c*0B，c不是B的特征值，否则矛盾，于是（Z-c*I）y=0只有一维解空间。

对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，每个特征值至少有一个线性无关的特征向量，但如果有某个特征值有多于一个的线性无关的特征向量，则至少可以找到n+1个线性无关的特征向量，而n+1个n维向量一定线性相关，这是矛盾。

第一性质

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。