Question

初等函数在定义域内一定连续吗？

Answer 1

初等函数在定义域内不一定连续。

所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，定义域与定义区间是不一样的，如果初等函数的定义域是一些离散的点构成的，函数不可能连续。

例如初等函数f(x)=1/x，这个函数的原函数F(x)=ln|x|+c(c是任意常数），在x=0点处就不连续。x=0点处没有定义。

但是这种间断点是因为没有定义的间断点，属于定义域不连续导致的函数不连续，而在定义域内是连续的。

初等函数本身并不是连续函数，如f(x)=1/x这样初等函数也是有间断点x=0的。

但是初等函数的间断点是因为定义域不连续导致的间断点。在定义域内部是不会存在间断点的。

连续函数的其他性质

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0)运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示