Question

函数f(x)=x+1/x的单调性,并求其值域

Answer 1

函数f(x)=x+1/x的单调性,并求其值域

这是一个奇函数，所以分析x＞0，的情况就知道对应的x＜0的情况了
函数的导数=1-1/x^2 当x＞1时，导数＞0，所以函数为增函数，则x＜-1，也是增函数
当0＜X＜1 导数＜0 函数为减函数 则x＞-1也是减函数
∴f(x)在（负无穷，-1） 与（1，正无穷）是增
在（-1，0） 与（0.1）是减
当x=-1时，有极大值-1-1=-2 当x=1时有极小值2
∴值域（负无穷，-2）并上（2，正无穷）
没学导数的话直接令0＜x1＜x2做差比较大小

讨论函数f（x）=（1/3)^ (x^2-2x)的单调性,并求其值域

f（x）=（1/3)^ (x^2-2x) =(1/3)^((x-1)^2-1) y=(x-1)^2-1是抛物线，当X>=1时，增函数，x<1时是减函数 而y=(1/3)^x是减函数，故f(x)在X>=1时是严格减函数，X<=1时是严格增函数 值域为 0<Y<=(1/3)^(-1)=3

指出函数F(X)=(1/5)X2-2X的单调性,并求其值域

F(X)=(1/5)X2-2X
=1/5*(x-5)^2-5
x<=5,减函数，x>=5,增函数
值域F(x)>=-5,

讨论函数F(X)=(1/3)的X平方-2X 的单调性,并求其值域

F(X)=(1/3)的X平方-2X
=(1/3)^[(X-1)^2-1]
(-无穷，1]递增
[1,+无穷）递减
值域为（0，3]

讨论函数f(x)=（1/5）^（x²-2x) 的单调性，并求其值域

因为指数函数y=（1/5）^x是减函数
而二次函数y=x^2-2x的对称轴是x=1
那么x<1时y=x^2-2x是减函数，x>1时y=x^2-2x是增函数
对于复合函数，单调性有同增异减这个规则
所以f(x)=（1/5）^（x²-2x)在(-∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数
因为x^2-2x=(x-1)^2-1≥-1
所以f(x)=(1/5)^(x^2-2x)≤(1/5)^(-1)=5
又f(x)>0
所以值域是(0,5】

研究函数f(x)=x-根号下1-x的单调性,并求其值域

f(x)=x-√(1-x)
定义域为x<=1
f'(x)=1+1/[2√(1-x)]>0，因此函数单调递增，最大值为f(1)=1
因此值域为：f(x)<=1

考察函数y=x-√(1-x)的单调性，并求其值域

解：先求定义域x<=1
然后分析x是单调递增的，-√(1-x)也是单调递增的，所以加起来也是单调递增的，最大值是y=1，所以值域是负无穷到1 先开后闭

求f（x）=sinx/x的单调性，并求其值域？

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利用函数的单调性求值域：求函数f(x)=x+1/x(x≠0)的值域

先求函数f(x)的导数f'(x)=1-1/x^2，令f'(x)=0可得：x=1或者x=-1，分别判断导数
f'(x)在（负无穷大，-1],[-1,0),(0,1],[1,正无穷大）上的符号，若f'(x)>0,则函数f(x)在该区间内为增函数，对应的区间即为增区间，若f'(x)<0,则f(x)为减函数，对应的区间即为减区间
利用函数的增减性很容易就可判断函数的极值（即值域问题）了

2．讨论函数f(x)＝(1/5)x2－2x的单调性，并求其值域．

f(x)=(1/5)x²－2x=(1/5)[x－5]²－5
1、在区间(－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞)上单调递增；
2、值域是：[－5，＋∞)