Question

级数绝对收敛有什么意义

Answer 1

下面是我自己对绝对收敛意义的理
我们在学习级数的时候,应该一开始接触到的就是正项级数,学习了不少正项级数敛散性的判别法,例如比较判别法、比值判别法、根植判别法、柯西积分判别法等等,这是我们证明级数敛散性的重要手段.给出了绝对收敛的定义之后,因为绝对收敛的级数必收敛,所以我们可以把很多级数转化为正项级数,来研究它的绝对收敛性,进而确定它的敛散性.
上面只是说明了绝对收敛对研究级数敛散性的意义.其实绝对收敛是比一般收敛更强的条件,绝对收敛的级数拥有条件收敛级数所不具有的性质.例如,任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序,不会改变级数的和.又如,两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积.
把一般收敛区分为绝对收敛和条件收敛,其实是对级数性质的进一步研究,除此之外还有一致收敛,等等.这些概念都是有区别的,为了让我们对要研究的级数的性质有更深入的了解.