Question

什么叫错位相减法

Answer 1

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（公比为a，格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
S=a+2a^2+3a^3+……+(n-2)a^(n-2)+(n-1)a^(n-1)+na^n（1）
在（1）的左右两边同时乘上a。得到等式（2）如下：
aS=a^2+2a^3+3a^4+……+(n-2)a^(n-1)+(n-1)a^n+na^(n+1)（2）
用（1）—（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a^2+(3-2)a^3+……+(n-n+1)a^n-na^(n+1)（3）
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
具体例题
例子：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……+(2n-1)·x^(n-1)（x不等于0）
解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x^(n-1)
所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4.…….+(2n-1)·x^n
所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x【(1+x+x^2+x^3+...+x^（n-2)】－(2n-1)·x^n。
化简得：Sn=(2n-1)·x^（n+1）－(2n+1)·x^n+(1+x)/(1-x)^2
Cn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1)(等比数列求和)=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn=1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/21/2Sn=1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)Sn=1-1/2^n
错位相减法在数列求和中经常用到，要观察它的特点，才能把握

Answer 2

错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：
aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
用（1）—（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了

Answer 3

啊哈，举个例子。
要你求1/2+1/4+1/8+1/16
可以用错位相减法式运算简便。设所求为S，由题意得：S=2S-S
=1+1/2+1/4+1/8-(1/2+1/4+1/8+1/16)
=1+1/2-1/2+1/4-1/4+1/8-1/8-1/16
=1-1/16
=15/16

明白？
祝学业进步！