Question

关于对面积积分，就是第一类曲面积分的一个小问题可是挺重要的

这个面积元素是怎么来的~我感觉还是有点天外飞仙...一头雾水~谢谢各位了~
应该是前两句话没看懂..

Answer 1

因为 delta S 是曲面上的面积元, 而dxdy是那个面积元在 xy平面 上的投影

所以 delta S * cos(theta) = dxdy

其中 theta是曲面在 (x,y,f(x,y))处的切平面与x-y平面所成的角度. 它也等于曲面在(x,y,f(x,y))处的法向量n 与 z-轴所成之角.

由于 n=(1,z_x,z_y)
而z-轴的单位向量 = (1,0,0)

所以它们的夹角余弦 = 它们的点积 除以 它们的长度之积

=1 / (根号(1+(z_x)^2 + (z_y)^2)

所以 delta S / (根号(1+(z_x)^2 + (z_y)^2) = dxdy

即 delta S = (根号(1+(z_x)^2 + (z_y)^2) dxdy

Answer 2

那是方向余弦。
简言之，面积微元dS=dσ/cosθ（就是z轴的方向余弦）
而cosθ=(1+f'(x,y)+f'(x,y))^0.5 （设F=z-f(x,y)，这样就能得到与这个形式一样的方向余弦了）
同时dσ=dxdy
那么就有书上的结论啦~~~~~~