Question

在三角形ABC中,角B=60度,AD,CE平分角BAC,角ACB,求证:OE=OD,两种不同方法求

Answer 1

1
证明：作OH⊥BC于H,OG⊥AB于G,则∠OGE=∠OHD=90°,
∵∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-1/2（∠BAC+∠ACB）=90°+1/2∠B=120°
∴∠DOC=60°,
∴∠ODB=∠DOC+∠OCD=60°+∠OCD,∠OEA=∠B+∠OCD=60°+∠OCD,
∴∠ODB=∠OEA,
又∵角平分线AD,CE相交于点O,
∴OG=OH,
∴△ODH≌△OEG,
∴OE=OD.
2
证明：连接DE,
∵AD、CE均是角平分线,
∴点O是△ABC的内心,
即有∠ABO＝∠CB0＝(1/2) ∠B=30°
又∵∠DOE＝∠AOC＝180°-（1/2）（∠A+∠C）＝180°-（1/2）（180°-∠B）＝120°
即有∠B+∠DOE＝180°
故B、D、O、E四点共圆
则∠ODE＝∠ABO＝30°,∠OED＝∠CBO＝30°,即有∠ODE＝∠OED
所以OE＝OD