Question

设p和q都是大于3的质数，求证：24|p 2 -q 2 ．

Answer 1

p和q都是大于3的质数，而且都是奇数，设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1） ² =4n ² +4n+1，
只要证得8能整除（4n ² +4n）即可，
显然4能整除（4n ² +4n），而n ² 与n奇偶性相同，所以2能整除（n ² +n），
因此8能整除（4n ² +4n），所以可以得出（4n ² +4n+1）被8除余1，
即奇数的平方被8除余1．
因此p ² 、q ² 可以表示为p ² =8k+1，q ² =8a+1（k．a都是正整数）；
则p ² -q ² =8（k-a），所以8|p ² -q ² ；
p和q都是大于3的质数，不能被3整除，因此可以表示为p=3m+1（或3m+2），q=3n+1（3n+2），（m，n均为正整数）；
①当p=3m+1，q=3n+1时，p ² -q ² =3（3m ² -3n ² +2m-2n）能被3整除；
②当p=3m+1，q=3n+2时，p ² -q ² =3（3m ² -3n ² +2m-4n-1）能被3整除；
③当p=3m+2，q=3n+2时，p ² -q ² =3（3m ² -3n ² +4m-4n）能被3整除；
④当p=3m+2，q=3n+1时，p ² -q ² =3（3m ² -3n ² +4m-2n+1）能被3整除；
所以3|p ² -q ² ；
综上所知24|p ² -q ² ．