Question

已知a,b≥0,求证a^3+b^3≥(a^2+b^2)根号(ab)

Answer 1

(a^3+b^3)^2 - [(a^2+b^2)根号(ab)]^2
=a^6 + 2a^3b^3 + b^6 - ab(a^4+2a^2b^2+b^4)
=a^6 + 2a^3b^3 + b^6 - a^5b - 2a^3b^3 - ab^5
=a^6 - a^5b + b^6 - ab^5
=a^5(a-b) + b^5(b-a)
=(a^5-b^5)(a-b)
=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)(a-b)
=(a-b)^2(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
(a-b)^2大于等于零
由a,b都是非负数可以得到(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)也大于等于零
所以上式大于等于零
即
(a^3+b^3)^2 - [(a^2+b^2)根号(ab)]^2 >= 0
(a^3+b^3)^2 >= [(a^2+b^2)根号(ab)]^2
由于a,b皆是非负数，上式两边括号内都是非负数
a^3+b^3 >= (a^2+b^2)根号(ab)