Question

如何证明椭圆的面积公式？

Answer 1

椭圆焦点三角形面积公式推导如下：

设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线）。

∠F2F1P=α，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ。

则有离心率e=sin(α＋β）／（sinα＋sinβ）。

焦点三角形面积S=b²·tan(θ／2)。

注意

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ。