Question

数学问题：函数与反函数的

Answer 1

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问题描述:

函数图像与反函数图像是否一定关于y=X对称，原因~~是什么？

还有：y=(1/16)^x与它的反函数“y=以1/16为底x的对数"上都有

（1/2，1/4）和（1/4，1/2），为什么交点不在y=x直线上？好像有个"关于直线对称的图形的交点都在对称轴上“的定理，不对吗？

解析:

下面一律用f~1(x)表示f(x)的反函数

1 这个结论是正确的 假设f(x)上任意一点(a,b) 有f(a)=b

于是f~1(b)=a 即f~1(x)必过(b,a) 而(a,b)和(b,a)是关于直线y=x对称的 即把横纵坐标互换 故其图像关于直线y=x对称

2 (1)这个函数和其反函数画出来大概是这个样子:
img699.photo.163/jypqzone/***********/***********

其中红线表示y=(1/16)^x的图像 蓝线表示y=log-1/16-x的图像

看起来似乎是在某一点相切 交点应该是在y=x上的

但经过验证 发现(1/2,1/4)和(1/4,1/2)确实是两函数的交点

不过,它们也必有在y=x上的交点 证明如下:

直观上,连接(1/2,1/4)和(1/4,1/2) 线段通过直线y=x

这两个函数都是连续的 若f(x)与直线y=x无交点 即f(x)只在y=x的一侧 则y=f~1(x)在y=x的另一侧 不可能它们再有交点

所以如果它们有除了y=x上的交点 必至少存在一交点P(x0,y0)

使得x0=y0

具体到这个题来讲 可以证明y=(1/16)^x和y=x有在区间(1/4,1/2)上的交点 如下:

设函数f(x)=(1/16)^x-x 令f(x)=0即可解得y=(1/16)^x和y=x的交点

它们的交点也一定在y=log-1/16-x上

而f(x)在区间(1/4,1/2)上连续的

f(1/4)=1/4>0 f(1/2)=-1/4<0 f(1/4)*f(1/2)<0

故f(x)必在区间(1/4,1/2)内与x轴相交至少1点

即至少存在一点P(x1,y1) 使得f(x)=(1/16)^x和f~1(x)都过这个点

(2)关于"交点不在y=x直线上"的总结

我证得了这样一个结论:已知f(x)在区间I内有定义,连续,且单调增加,则它于其反函数的交点必在直线y=x上

证:假设f(x)于其反函数交于P(x0,y0)点(x0不等于y0)

即f(x0)=y0 f~1(x0)=y0 (暂且用f~1(x)表示f(x)的反函数)

所以f(y0)=x0 f~1(y0)=x0

即f(x)与f~1(x)均过(x0,y0) (y0,x0)两点

因为x0不等于y0 设x0<y0

因为f(x)过(x0,y0) (y0,x0)两点

发现其因变量随自变量的增大而减小且在区间内单调

故f(x)是区间内的减函数

而y0<x0时也可以推出 f(x)是区间内的减函数 的结论

这与题目条件f(x)是区间内的增函数矛盾

所以如果有交点 x0不等于y0是错误的 即交点必在直线y=x上

而对于区间内的减函数无法证出 而且已经举出了反例 例如这个:
img699.photo.163/jypqzone/***********/***********

但我对这个问题有个猜想:设函数f(x)在区间I内有定义 连续 单调减少 且在I内具有连续的一阶 二阶导数 并在I内没有拐点 即不存在t属于I 使得f"(t)=0 或者说f(x)在区间内是恒为凸形或凹形

则f(x)与其反函数的交点必在直线y=x上

这只是个猜想 我无力证出 只是作图来看似乎正确

(3)对"关于直线对称的图形的交点都在对称轴上"的解释

个人认为这是个错误的结论 例如上述减函数 就是个反例

(4)对"已知f(x)在区间I内有定义,连续,且单调增加,则它于其反函数的交点必在直线y=x上"的"特例"解释

有人举出这样一个例子:y=-1/x 是定义域内的增函数

它的反函数是自身 与自身交于无数个不在y=x上的点

我做如此解释:不要忘了在"I内有定义 连续" x=0是这个函数的一个间断点 在此点没有定义 不是"I内有定义且连续的函数"

(5)补充一点:函数与其反函数也不一定有交点 关于这个 只要f(x)和f~1(x)在y=x的两侧即可 不再做过多说明

完毕