Question

如何用积分计算旋转体的体积？

Answer 1

用guldin公式,取dθ分成的小扇形，由三角形重心公式知其重心位置高2/3*r(θ)*sinθ，微元面积为ds=1/2*(r(θ))*(r(θ))d(θ)；

用guldin公式重心轨迹长为2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面积dV=2/3*r(θ)三次方*sinθ积分即可。

例如：

r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积

0 <= θ <= π.

曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为

[a(1 + cosθ)sinθ]^2

当θ变化到(θ+dθ)时，点在曲线上变化的弧长为

a(1+cosθ)dθ

所以 ，旋转体的体积

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{π[a(1 + cosθ)sinθ]^2a(1+cosθ)}

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(1 + cosθ)^3[sinθ]^2}

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cosθ)^2 + (cosθ)^3 ](sinθ)^2}

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(sinθ)^2}

= 2a^3π*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(2θ)]/2}

= 2a^3π[π/4]

= a^3π^2/2

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3cosθ](sinθ)^2}= 0

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3(cosθ)^2](sinθ)^2}

= 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[sin(2θ)]^2}

= 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(4θ)]/2}

= 3a^3π/2[π/4]

= 3a^3π^2/8

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[(cosθ)^3 ](sinθ)^2}= 0

所以，旋转体的体积= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cosθ)^2 + (cosθ)^3 ](sinθ)^2}

= a^3π^2/2 + 0 + 3a^3π^2/8 + 0

= 7a^3π^2/8

扩展资料：

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域。

在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

参考资料来源：百度百科-体积