Question

三棱锥4个面都是全等的三角形,且各边长均为a、b、c,求三棱锥的体积V

Answer 1

根号[2（b^2+c^2-a^2）（a^2+c^2-b^2）（b^2+a^2-c^2）]/12
考虑两个a边的中点,M,N.
1.MN是两个a边的公垂线.
2.四面体体积=对棱长之积*对棱的夹角的正弦*公垂线长度/6
1.设四面体为ABCD.其中,AB=CD=a.M为AB中点,N为CD中点.于是连接MC,MD,有MC=MD（全等三角形同一边上的中线.）注意到MN为等腰三角形MCD底边上的中线,于是MN垂直于CD.同理MN垂直于AB.
2.这个引理就不证明了
先算MN长度：CM=MD=（2b^2+2c^2-a^2）/4（中线长公式）
于是MN=（b^2+c^2-a^2）/2
计算对棱长之积*对棱的夹角的正弦/2
这个也就是把CD延NM平移到M点时以AB,C'D'为对角线的长方形的面积.
注意到CC'垂直于面AC'BD',于是AC'垂直于C'C.于是AC'=根号[b^2-MN^2]=根号[（b^2+a^2-c^2）／2]
同理,C'B=根号[（b^2-a^2+c^2）／2]
于是面积=根号[（b^2-a^2+c^2）／2*（b^2+a^2-c^2）／2]
最后得到体积= 根号[2*（b^2+c^2-a^2）（a^2+c^2-b^2）（b^2+a^2-c^2）]/12