Question

求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型

Answer 1

二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,5.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换,满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.