Question

圆周率的公式

Answer 1

圆周率古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度.这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好.随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式.下面挑选一些经典的常用公式加以介绍.除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了.
　　1、马青公式
　　π=16arctan1/5-4arctan1/239
　　这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现.他利用这个公式计算到了100位的圆周率.马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度.因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现.
　　还有很多类似于马青公式的反正切公式.在所有这些公式中,马青公式似乎是最快的了.虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,马青公式就力不从心了.
　　2、拉马努金公式
　　1914年,印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式.这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度.1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位.
　　1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度.1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位.丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：
　　3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法
　　高斯-勒让德公式：
圆周率这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了.1999年9月,日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录.
　　4、波尔文四次迭代式：
　　这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的.
　　5、bailey-borwein-plouffe算法
　　6．丘德诺夫斯基公式
　　7．莱布尼茨公式圆周率的计算如下：在圆中画等边的多边形来实现,划分越多越接近圆周率,设圆半径为a
1）等边三角形,圆心到三个顶点的距离是一样的,三角形的面积为3√3/4*a^2=1.332a^2
2）正方形,面积为2a^2
3）等边五角形,面积为2.377a^2
4）等边六角形,面积为3√3/2a=2.598a^2
从数值可以看到变化趋势：1.332,2,2.377,2.598.越来越接近3.141592654...
老祖宗祖冲之就是靠多边形这样计算出来的,只不过他比我们困难,因为那时不能使用三角函数表,还需要自己去计算.我们要得到小数点后超过4位的准确数字,我们也只有自己计算,因为三角函数表就4位有效数字.
.这样一直计算下去,其结果将越来越接近π（圆周率）,为计算方便,可以从正方形到八边形
　　π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……
π不是个公式,它只是一个定值 c÷2r＝π
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