Question

求1/（sin^2x+2cos^2x)的不定积分

Answer 1

I = ∫dx/[(sinx)^2+2(cosx)^2] = ∫dx/[1+(cosx)^2] = ∫d(2x)/(3+cos2x)
令 tanx = u， 则 cos2x = (1-u^2)/(1+u^2), d(2x) = 2du/(1+u^2)
I = ∫d(2x)/(3+cos2x) = ∫du/(2+u^2) = (1/√2)arctan(u/√2) + C
= (1/√2)arctan(tanx/√2) + C

Answer 2

原式=∫1/(1+(cosx)^2)
dx
分子分母同除以(cosx)^2
=∫(secx)^2/((secx)^2+1)
dx
=∫1/((secx)^2+1)
d
(tanx)
=∫1/((tanx)^2+2)
d
(tanx)
套公式
=1/√2*arctan((tanx)/√2)+C

Answer 3

∫1/[(sinx)^2+2(cosx)^2]dx
（分子分母同时除以cosx^2）
=∫[1/cosx^2/tanx^2+2]dx
=∫d(tanx)/(tanx^2+2)
（利用公式dx/x^2+a^2＝1/a ×arctanx/a+c）
= (1/√2)arctan(tanx/√2) + C