Question

已知n是正整数,求证n的5次方-n的结果能被10整除,

Answer 1

证明：
(1) n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)必为偶数
∴n^5-n能被2整除
(2) 若n,n+1,n-1中有5的倍数,n^5-n能被5整除
若n,n+1,n-1中没有5的倍数,则n的末位数字只能为2,3,7,8
（∵取末位是其它的数字时三数中必有一个末位数是5或0）
n的末位数为2时,n^2+1的末位数为5
n的末位数为3时,n^2+1的末位数为0
n的末位数为7时,n^2+1的末位数为0
n的末位数为8时,n^2+1的末位数为5
即n,n+1,n-1,n^2+1中必有5的倍数,n^5-n能被5整除
综合(1)(2)知,n^5-n既能被2整除,也能被5整除
故n^5-n能被10整除
证毕