Question

如何用一元二次方程求根公式求根？

Answer 1

先将原方程等号右端的自由项看成 f(x)=x^k · Pm(x) · e^λx 方程①
1、对应题主的情况一，Qm(x)=b0
原方程 y"+y'-2y=2e^x
原方程对应的齐次特征方程 r^2+r-2=0，
齐次特征根 r1=1
r2=-2
然后看到原方程等号右端为 2e^x，
将 2e^x 与 x^k·Pm(x)·e^λx 比较，很明显可以看出λ=1
λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ为单特征根因为只与其中的一个r1相等
所以k=1，因为单特征根所以k取1。
还记得回答顶部的方程①吗？
方程①变成了 f(x)=x^1 · Pm(x) · e^1x =x · e^x · Pm(x)
发现m还不知道，再将 x·e^x·Pm(x) 与 2e^x 比较，
很明显可以看出Pm(x)=2，所以设Qm(x)=b0，常数对应常数嘛
因为 f(x)=x·e^x·Pm(x) 中的x是根据k取得，跟Pm(x)无关
e^x是根据λ取得，跟Pm(x)也无关。
所以 Pm(x) 只可能与 2e^x 的常数2有关。既然Pm(x)只与常数有关，
那就设Qm(x)为一个常数b0
所以 y*=x^k · Pm(x) · e^λx
最后设为 y*=b0 · x · e^x
2、对应题主的情况二，Qm(x)=b0x+b1
同理
原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x
r1=1，r2=2
比较e^2x与e^λx，所以λ=2
λ=2=r2，所以λ为单特征根，所以k=1
此时原方程等号右端还有一个 x ，就是留下来对比Pm(x)的
所以 Qm(x) 设为 b0x+b1 形式
所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x
即y*= x · (b0x+b1) · e^2x
3、对应题主的情况三，Qm(x)=b0x^2+b1x+b2
原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1
r1=0
r2=-5/2
对比λ=0=r1，所以k取1，
而Pm(x)要去对应5x^2-2x-1，所以Qm(x)设为b0x^2+b1x+b2
所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x
即y* = b0x^3+b1x^2+b2x