求60道一元二次方程应用题带答案^o^谢谢
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一、增长率问题
x09例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
x09解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1－20%)(1+x)2＝193.6,
x09即(1+x)2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1（舍去）.
x09答 这两个月的平均增长率是10%.
x09说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2＝n求解,其中m＜n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1－x)2＝n即可求解,其中m＞n.
x09二、商品定价
x09例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出（350－10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
x09解 根据题意,得(a－21)(350－10a)＝400,整理,得a2－56a+775＝0,
x09解这个方程,得a1＝25,a2＝31.
x09因为21×(1+20%)＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去.
x09所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
x09答 需要进货100件,每件商品应定价25元.
x09说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
x09三、储蓄问题
x09例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
x09解 设第一次存款时的年利率为x.
x09则根据题意,得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理,得90x2+145x－3＝0.
x09解这个方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1.63舍去.
x09答 第一次存款的年利率约是2.04%.
x09说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.
x09四、趣味问题
x09例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
x09解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.
x09则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8,整理,得x2+0.8x－1.8＝0.
x09解这个方程,得x1＝－1.8（舍去）,x2＝1.
x09所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
x09答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
x09说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.
x09五、古诗问题
x09例5 读诗词解题：（通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄）.
x09大江东去浪淘尽,千古风流数人物；
x09而立之年督东吴,早逝英年两位数；
x09十位恰小个位三,个位平方与寿符；
x09哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
x09解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x－3.
x09则根据题意,得x2＝10(x－3)+x,即x2-11x+30＝0,解这个方程,得x＝5或x＝6.
x09当x＝5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去；
x09当x＝6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
x09答 周瑜去世的年龄为36岁.
x09说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.
x09六、象棋比赛
x09例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
x09解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局,共计n(n－1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n－1)＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44（舍去）.
x09答 参加比赛的选手共有45人.
x09说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.
x09七、情景对话
x09例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
x09解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000,所以员工人数一定超过25人.
x09则根据题意,得[1000－20(x－25)]x＝27000.
x09整理,得x2－75x+1350＝0,解这个方程,得x1＝45,x2＝30.
x09当x＝45时,1000－20(x－25)＝600＜700,故舍去x1；
x09当x2＝30时,1000－20(x－25)＝900＞700,符合题意.
x09答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.
x09八、等积变形
x09例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
x09（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
x09（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
x09以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件,请说明理由.
x09解 都能.（1）设小路宽为x,则18x+16x－x2＝×18×15,即x2－34x+180＝0,
x09解这个方程,得x＝,即x≈6.6.
x09（2）设扇形半径为r,则3.14r2＝×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
x09说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等.
x09九、动态几何问题
x09例9 如图4所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
x09（1）如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
x09（2）点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间；若不存在,说明理由.
x09解 因为∠C＝90°,所以AB＝＝＝10（cm）.
x09（1）设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP＝xcm,PC＝(6－x)cm,CQ＝2xcm.
x09则根据题意,得·(6－x)·2x＝8.整理,得x2－6x+8＝0,解这个方程,得x1＝2,x2＝4.
x09所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
x09（2）设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
x09则根据题意,得(6－x)·2x＝××6×8.整理,得x2－6x+12＝0.
x09由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
x09说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程＝速度×时间.
x09十、梯子问题
x09例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.
x09（1）若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?
x09（2）若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
x09（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
x09解 依题意,梯子的顶端距墙角＝8（m）.
x09（1）若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2＝102,整理,得x2+12x－15＝0,
x09解这个方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14（舍去）,
x09所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.
x09（2）当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理,得x2－16x+13＝0.
x09解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14（舍去）.
x09所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.
x09（3）设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102,整理,得2x2－4x＝0,
x09解这个方程,得x1＝0（舍去）,x2＝2.
x09所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.
x09说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
x09十一、航海问题
x09例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.
x09（1）小岛D和小岛F相距多少海里?
x09（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?（精确到0.1海里）
x09解（1）F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF＝AB＝100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.
x09（2）设相遇时补给船航行了x海里,那么DE＝x海里,AB+BE＝2x海里,EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
x09在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2,整理,得3x2－1200x+100000＝0.
x09解这个方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+（不合题意,舍去）.
x09所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.
x09说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
x09十二、图表信息
x09例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n（n为整数,且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
x09请你认真观察思考后回答下列问题：
x09（1）由于正方形纸片边长n的取值不同,完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：
x09纸片的边长nx092x093x094x095x096
使用的纸片张数x09x09x09x09x09
x09（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面积为S2.
x09①当n＝2时,求S1∶S2的值；
x09②是否存在使得S1＝S2的n值?若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.
x09解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.
x09（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.
x09①当n＝2时,S1＝－22+25×2－12＝34,S2＝12×12－34＝110.
x09所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
x09②若S1＝S2,则有－n2+25n－12＝×122,即n2－25n+84＝0,
x09解这个方程,得n1＝4,n2＝21（舍去）.
x09所以当n＝4时,S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
x09说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第（3）小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
x09十三、探索在在问题
x09例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
x09（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
x09（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.
x09解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20－x）cm.
x09则根据题意,得+＝17,解得x1＝16,x2＝4,
x09当x＝16时,20－x＝4,当x＝4时,20－x＝16,
x09答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
x09（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12,整理,得y2－20y+104＝0,移项并配方,得(y－10)2＝－4＜0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
x09说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0,方程有两个实数根,若b2－4ac＜0,方程没有实数根,本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
x09十四、平分几何图形的周长与面积问题
x09例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
x09（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积；
x09（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长；若不存在,请说明理由；
x09（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长；若不存在,请说明理由.
x09解（1）由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.
x09过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.
x09则可得,FG＝×4,
x09所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.
x09（2）存在.由（1）得－x2+x＝14,解这个方程,得x1＝7,x2＝5（不合题意,舍去）,
x09所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE＝7.
x09（3）不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2,
x09即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝,
x09整理,得3x2－24x+70＝0,此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0,
x09所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
x09说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
x09十五、利用图形探索规律
x09例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
x09（1）观察图形,请填写下列表格：
正方形边长x091x093x095x097x09…x09n（奇数）
黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09
正方形边长x092x094x096x098x09…x09n（偶数）
黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09
x09（2）在边长为n（n≥1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2＝5P1?若存在,请写出n的值；若不存在,请说明理由.
x09解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.
x09（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n,所以P2＝n2－2n.根据题意,得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0,解得n1＝12,n2＝0（不合题意,舍去）.所以存在偶数n＝12,使得P2＝5P1.
x09说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.
x09例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
x09解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1－20%)(1+x)2＝193.6,
x09即(1+x)2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1（舍去）.
x09答 这两个月的平均增长率是10%.
x09说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2＝n求解,其中m＜n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1－x)2＝n即可求解,其中m＞n.
x09二、商品定价
x09例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出（350－10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
x09解 根据题意,得(a－21)(350－10a)＝400,整理,得a2－56a+775＝0,
x09解这个方程,得a1＝25,a2＝31.
x09因为21×(1+20%)＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去.
x09所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
x09答 需要进货100件,每件商品应定价25元.
x09说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
x09三、储蓄问题
x09例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
x09解 设第一次存款时的年利率为x.
x09则根据题意,得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理,得90x2+145x－3＝0.
x09解这个方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1.63舍去.
x09答 第一次存款的年利率约是2.04%.
x09说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.
x09四、趣味问题
x09例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?
x09解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.
x09则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8,整理,得x2+0.8x－1.8＝0.
x09解这个方程,得x1＝－1.8（舍去）,x2＝1.
x09所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
x09答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
x09说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.
x09五、古诗问题
x09例5 读诗词解题：（通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄）.
x09大江东去浪淘尽,千古风流数人物；
x09而立之年督东吴,早逝英年两位数；
x09十位恰小个位三,个位平方与寿符；
x09哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
x09解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x－3.
x09则根据题意,得x2＝10(x－3)+x,即x2-11x+30＝0,解这个方程,得x＝5或x＝6.
x09当x＝5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去；
x09当x＝6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.
x09答 周瑜去世的年龄为36岁.
x09说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.
x09六、象棋比赛
x09例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
x09解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局,共计n(n－1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n－1)＝1980,得n2－n－1980＝0,解得n1＝45,n2＝－44（舍去）.
x09答 参加比赛的选手共有45人.
x09说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.
x09七、情景对话
x09例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
x09解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000,所以员工人数一定超过25人.
x09则根据题意,得[1000－20(x－25)]x＝27000.
x09整理,得x2－75x+1350＝0,解这个方程,得x1＝45,x2＝30.
x09当x＝45时,1000－20(x－25)＝600＜700,故舍去x1；
x09当x2＝30时,1000－20(x－25)＝900＞700,符合题意.
x09答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.
x09八、等积变形
x09例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
x09（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
x09（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
x09以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件,请说明理由.
x09解 都能.（1）设小路宽为x,则18x+16x－x2＝×18×15,即x2－34x+180＝0,
x09解这个方程,得x＝,即x≈6.6.
x09（2）设扇形半径为r,则3.14r2＝×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
x09说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等.
x09九、动态几何问题
x09例9 如图4所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
x09（1）如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
x09（2）点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间；若不存在,说明理由.
x09解 因为∠C＝90°,所以AB＝＝＝10（cm）.
x09（1）设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP＝xcm,PC＝(6－x)cm,CQ＝2xcm.
x09则根据题意,得·(6－x)·2x＝8.整理,得x2－6x+8＝0,解这个方程,得x1＝2,x2＝4.
x09所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
x09（2）设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
x09则根据题意,得(6－x)·2x＝××6×8.整理,得x2－6x+12＝0.
x09由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
x09说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程＝速度×时间.
x09十、梯子问题
x09例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.
x09（1）若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?
x09（2）若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
x09（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
x09解 依题意,梯子的顶端距墙角＝8（m）.
x09（1）若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2＝102,整理,得x2+12x－15＝0,
x09解这个方程,得x1≈1.14,x2≈－13.14（舍去）,
x09所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.
x09（2）当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理,得x2－16x+13＝0.
x09解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14（舍去）.
x09所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.
x09（3）设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.
x09则根据勾股定理,列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102,整理,得2x2－4x＝0,
x09解这个方程,得x1＝0（舍去）,x2＝2.
x09所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.
x09说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
x09十一、航海问题
x09例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.
x09（1）小岛D和小岛F相距多少海里?
x09（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?（精确到0.1海里）
x09解（1）F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF＝AB＝100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.
x09（2）设相遇时补给船航行了x海里,那么DE＝x海里,AB+BE＝2x海里,EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
x09在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2,整理,得3x2－1200x+100000＝0.
x09解这个方程,得x1＝200－≈118.4,x2＝200+（不合题意,舍去）.
x09所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.
x09说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
x09十二、图表信息
x09例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n（n为整数,且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
x09请你认真观察思考后回答下列问题：
x09（1）由于正方形纸片边长n的取值不同,完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：
x09纸片的边长nx092x093x094x095x096
使用的纸片张数x09x09x09x09x09
x09（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面积为S2.
x09①当n＝2时,求S1∶S2的值；
x09②是否存在使得S1＝S2的n值?若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.
x09解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.
x09（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.
x09①当n＝2时,S1＝－22+25×2－12＝34,S2＝12×12－34＝110.
x09所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
x09②若S1＝S2,则有－n2+25n－12＝×122,即n2－25n+84＝0,
x09解这个方程,得n1＝4,n2＝21（舍去）.
x09所以当n＝4时,S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
x09说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第（3）小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
x09十三、探索在在问题
x09例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
x09（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
x09（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.
x09解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20－x）cm.
x09则根据题意,得+＝17,解得x1＝16,x2＝4,
x09当x＝16时,20－x＝4,当x＝4时,20－x＝16,
x09答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
x09（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12,整理,得y2－20y+104＝0,移项并配方,得(y－10)2＝－4＜0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
x09说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0,方程有两个实数根,若b2－4ac＜0,方程没有实数根,本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
x09十四、平分几何图形的周长与面积问题
x09例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB＝DC＝5,AD＝4,BC＝10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
x09（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积；
x09（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长；若不存在,请说明理由；
x09（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长；若不存在,请说明理由.
x09解（1）由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.
x09过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.
x09则可得,FG＝×4,
x09所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.
x09（2）存在.由（1）得－x2+x＝14,解这个方程,得x1＝7,x2＝5（不合题意,舍去）,
x09所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE＝7.
x09（3）不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2,
x09即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝,
x09整理,得3x2－24x+70＝0,此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0,
x09所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
x09说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
x09十五、利用图形探索规律
x09例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
x09（1）观察图形,请填写下列表格：
正方形边长x091x093x095x097x09…x09n（奇数）
黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09
正方形边长x092x094x096x098x09…x09n（偶数）
黑色小正方形个数x09x09x09x09x09…x09
x09（2）在边长为n（n≥1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2＝5P1?若存在,请写出n的值；若不存在,请说明理由.
x09解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.
x09（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n,所以P2＝n2－2n.根据题意,得n2－2n＝5×2n,即n2－12n＝0,解得n1＝12,n2＝0（不合题意,舍去）.所以存在偶数n＝12,使得P2＝5P1.
x09说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.
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