Question

有关带根号的定积分计算

积分区域为0到4 求根号下（36+4t^2）的定积分
拜托……

Answer 1

换元法. 令 t=3tanX, 得36+4t^2=36(1+(tanX)^2)
=36(secX)^2

而且 dt = 3(secX)^2 dX

因此

根号下（36+4t^2）dt
的不定积分等于

根号下（36(secX)^2）* 3(secX)^2 dX 的不定积分

= 27 * (1/cosX)^3 dX 的不定积分
= 27 * (sinX) / (cosX)^4 dX 的不定积分
= -27 * 1/(cosX)^4 d(cosX) 的不定积分
= -27 * (-1/3) * 1/(cosX)^3 + C
= 9/(cosX)^3 + C

所以
积分区域为t从0到4 求根号下（36+4t^2）的定积分

= 积分区域为 X从0到arctan(4/3), 求根号下根号下（36(secX)^2）* 3(secX)^2 dX 的定积分

= 9/(cosX)^3 | 以X=arctan(4/3)代入 减去 9/(cosX)^3 | 以 X=0代入

= 9/(3/5)^3 - 9/1
= 125/3 - 9
= 98/3

Answer 2

t=3tan u
进行替换

Answer 3

换元！
等下！偶做图片传给你！