Question

如何理解引力势能公式中的GMm/ r

Answer 1

1、引力势能公式微积分推导过程如下图，mgh适合地面上g不变化的情况，而GMm/r适用于太空。

2、引力势能公式普通推导过程如下：

在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力（做功只与初末位置有关）

然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为M1，M2,相距r1。

当B星体向它们的连心线AB（其实就是万有引力的方向上）向外移动一段距离△r时,

其距离改变为r2 ,r1+△r→r2,考虑△r很微小,可近似为r1=r2。

同时在改变的过程中由于△r很微小,∴它们的万有引力是不变的。

所以：万有引力在由r1+△r→r2所做的功就是W1=Gm1m2/r1²×△r=(Gm1m2/r1r2)×（r2-r1)

=Gm1m2/r1-Gm1m2/r2

同理考虑无穷个这样的△r可得W2= Gm1m2/r2-Gm1m2/r3

W3=Gm1m2/r3-Gm1m2/r4

W4=Gm1m2/r4-Gm1m2/r5

…………………………

WN=Gm1m2/r n-1 -Gm1m2/rn

然后累项相加得W1+W2+W3+W4……+WN=Gm1m2/r1-Gm1m2/rn

因为N趋近于无穷大,所以Gm1m2/rn就为零了∴从原处到无穷远的万有引力做功为-Gm1m2/r1,又因为 W万=EP1-EPN=

-Gm1m2/r1,EPn=0 所以EP1=-Gm1m2/r1 所以得星体A在原来的万有引力势能为EP1=-Gm1m2/r1 ∴对于任意星体都满足E=-GMm/r

扩张资料：

引力势能证明

以地球为例，设地球质量为M，其无穷远处为势能零点，则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球r处时，引力消耗势能做功为

Wp=

其中

为移动过程中的任意微小位移。

对于距离地球x初的质量体m，其引力F=

，

则当质量m由无穷远处移动到距地球r处，有

Wp=

=

解得Wp=

当质量体m由无穷远处（零势能点）移动到距离地球r处，引力做功Wp=

，即引力势能减少了这么多，则该处的引力势能

Ep=0

=

参考资料来源：百度百科-引力势能