Question

球面积公式如何推导的？

Answer 1

球面积公式推导如下：

用^表示平方。

把一个半径为r的球的上半球切成n份 每份等高。

并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径。

则从下到上第k个圆柱的侧面积s(k)=2πr(k)*h。

其中h=r/n r(k)=根号[r^-(kh)^]

s(k)=根号[r^-(kr/n)^]*2πr/n。

=2πr^*根号[1/n^-(k/n^)^]

则 s(1)+s(2)+……+s(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候就是半球表面积2πr^
乘以2就是整个球的表面积 4πr^

球面积公式：

球面积的计算公式:S=4*R^2*π，如果是半球的话只需计算球面积的一半和底部圆的面积，结果是S=1/2S。

球+S底=2πR^2+πR^2=3πR^2。

球的表面积公式

设球的半径为$R$，球的表面积由半径$R$唯一确定，所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数，即$S_球=4πR^2$。

1、定义：球的表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。

Answer 2

球面积公式可以通过对球体表面进行微元面积的积分推导得出。
假设球体半径为 $r$，则它的表面可以看作由无数个微小的面元组成。令每个面元的面积为 $dS$，则整个球面的面积可以表示为所有微元面积的累积：
$$S=\int dS$$
考虑一个微元面积在球体表面的位置，可以将其看作一个局部的平面（与球面相切），其面积为 $dS$。根据几何关系，该平面上所有的点到球心的距离都相同，因此该平面上所有点的距离 $r'$ 都等于球体半径 $r$。
因此，可以利用平面几何中的面积公式，求出该微元面积对应的球体表面上的实际面积 $dS'$：
$$dS' = dS \cos\theta$$
其中 $\theta$ 为微元面积对应平面的法向量与球心连线的夹角。
由于该微元面积在球体表面上是等价的，因此可以将所有微元面积的实际面积相加，得到整个球体表面的实际面积 $S'$：
$$S' = \int dS \cos\theta$$
根据球体的几何性质，可知 $\cos\theta = \frac{r}{r'}$，代入上式，得到：
$$S' = \int dS\cdot\frac{r}{r'} = \int dS\cdot\frac{r}{r} = 4\pi r^2$$
因此，球面积公式为：$S=4\pi r^2$。