设A为m×n矩阵，证明： 方程AX=Em有解的充分必要条件为R(A)=m；
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【答案】：证： 条件的充分性：显然X是一个n×m矩阵，将Em按列分块为Em=(e1,e2,…, em)，将X按列分块为X=(x1,x2,…,xm)当R(A)=m时，因为R(A)=R(A, ei)=m(j=1,2…m)故由第4节定理5知Axj=ej(j=1,2,…,m)有解，所以AX=Em有解。
条件的必要性，因为AX=Em有解X，所以由第4节定理8知m=R(Em)= R(AX)≤min｛R(A),R(X)｝≤R(A)≤min｛m,n｝≤m，故R(A)=m.[逻辑推理] 证明时，利用线性方程组的理论．
条件的必要性，因为AX=Em有解X，所以由第4节定理8知m=R(Em)= R(AX)≤min｛R(A),R(X)｝≤R(A)≤min｛m,n｝≤m，故R(A)=m.[逻辑推理] 证明时，利用线性方程组的理论．
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2024-10-13 广告
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