Question

xsin1/ x的极限怎么求？

Answer 1

当x0时，xsin1/x的极限求解如下：

x0时，1/x∞，所以sin1/x不能等价于1/x。可以等价的：x0时，sinx~x。x∞时，1/x0，sin1/x~1/x。

扩展资料：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

要求函数f(x) = xsin(1/x)在x趋近于0时的极限，可以使用极限的基本性质和洛必达法则。
首先，我们观察函数f(x) = xsin(1/x)在x趋近于0时的行为。由于sin(1/x)的值在x趋近于0时振荡且不收敛，而x趋近于0，所以整个函数f(x)在x趋近于0时也不收敛，即该极限不存在。
为了更加形式化地证明这一点，我们可以使用洛必达法则。洛必达法则是求解形如0/0或∞/∞的极限的一种方法。
洛必达法则：如果函数f(x)和g(x)在x趋近于某个值c时都趋近于0或无穷大，并且f'(x)和g'(x)在c的某个领域内存在且g'(x)不为0，则极限lim(xc) f(x)/g(x)等于lim(xc) f'(x)/g'(x)。
现在我们来求解函数f(x) = xsin(1/x)在x趋近于0时的极限：
lim(x0) xsin(1/x)
这是一个0/0型的极限形式。对函数f(x)求导：
f'(x) = sin(1/x) - (1/x)cos(1/x)
观察f'(x)，我们发现在x趋近于0时，sin(1/x)和(1/x)cos(1/x)都是无穷小量，因此f'(x)在x趋近于0时也是无穷小量。
接下来，我们求导数g'(x)：
g'(x) = 1
由于g'(x)在x趋近于0时为常数1，不为0。
现在我们可以应用洛必达法则：
lim(x0) f(x)/g(x) = lim(x0) f'(x)/g'(x) = lim(x0) (sin(1/x) - (1/x)cos(1/x))/1
在x趋近于0时，sin(1/x)和(1/x)cos(1/x)都是无穷小量，所以lim(x0) (sin(1/x) - (1/x)cos(1/x)) = 0。
因此，极限lim(x0) xsin(1/x) = 0。
综上所述，函数f(x) = xsin(1/x)在x趋近于0时的极限为0。