Question

8.已知函数 f(x)=2+alnx ,g(x)=ax^2+1, 若存在两条不同的直线与函数 y=？

Answer 1

若存在两条不同的直线与函数 f(x) = 2 + a ln(x) 相切，我们可以考虑求函数 f(x) 的导数 f'(x)。
f'(x) = a/x
由于直线与函数相切，直线的斜率应与函数在相切点处的导数相等。假设直线的斜率为 k，则有 k = f'(x) = a/x。
同时，直线与函数相切还要求直线经过函数的相切点。假设相切点的横坐标为 x0，则直线的方程为 y = k(x - x0) + f(x0)。
将 f(x) 代入直线方程，得到 y = k(x - x0) + f(x0) = a(x - x0)/x + 2 + a ln(x0)。
同理，对于函数 g(x) = ax^2 + 1，可以求出导数 g'(x) = 2ax。假设直线的斜率为 k'，则有 k' = g'(x) = 2ax。
直线与函数 g(x) 相切要求直线的斜率与函数在相切点处的导数相等，同时直线经过函数的相切点。假设相切点的横坐标为 x0，则直线的方程为 y = k'(x - x0) + g(x0) = 2ax(x - x0) + ax0^2 + 1。
综上所述，若存在两条不同的直线与函数 f(x) = 2 + a ln(x) 和 g(x) = ax^2 + 1 相切，则直线的方程分别为：
y1 = a(x - x1)/x + 2 + a ln(x1)
y2 = 2ax(x - x2) + ax2^2 + 1
其中 x1, x2 是函数 f(x) 和 g(x) 的相切点的横坐标。