Question

为什么∫sinxdxdx=∫e^ x/ x·dx=π/2？

Answer 1

结果如下图：解题过程如下（因有专有公式，故只能截图）：扩展资料求函数积分的方法：设f（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做纳空积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进旁高行积分。若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）运茄尺。[sport.qhdhcxm.cn/article/159743.html]
[sport.7e9.com.cn/article/805463.html]
[tele.hihema.com.cn/article/629018.html]
[sport.jsbfjs.cn/article/071695.html]
[tele.miyuquan.cn/article/469528.html]
[tele.zndw.net.cn/article/261749.html]
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[sport.iyysj.cn/article/524079.html]

Answer 2

对sinx泰勒展开,再除以x有：

sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1)

两边求积分有：

∫sinx/x·dx

=[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)]

从0到无穷定积分

则将0,x(x→00）（这里的x是一个很大的常数,可以任意取）代入上式右边并相减,通过计算机即可得到结果 

以上只是个人意见,以下是高手的做法：

（高手出马,非同凡响!）

考虑广义二重积分

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

其中D = [0,+∞)×[0,+∞),

今按两种不同的次序进行积分得

I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy 

0 +∞ 0 +∞ 

= ∫sinx·(1/x)dx

0 +∞

另一方面,交换积分顺序有：

I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy

D

=∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx 

0 +∞ 0 +∞ 

=∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0

0 +∞ 

= π/2 

所以：

∫sinx·(1/x)dx=π/2

0 +∞

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。