x趋于+∞求x*(1-lnx/x)^x的极限?

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小茗姐姐V
高粉答主

2023-07-07 · 关注我不会让你失望
知道大有可为答主
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渣渣毀
2023-07-07 · 超过49用户采纳过TA的回答
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我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。首先,我们将原式变形为:
x * (1 - lnx/x)^x = x * e^(x * ln(1 - lnx/x))
然后,我们令 y = x * ln(1 - lnx/x),则原式变为:
x * e^y
我们需要求 y 当 x 趋近于正无穷时的极限。由于 y 的形式比较复杂,我们可以使用洛必达法则来求解。
对 y 求导,得:
dy/dx = ln(1 - lnx/x) + x * (1 / (1 - lnx/x)) * (-lnx / x^2 + 1 / x)
化简后,得:
dy/dx = ln(1 - lnx/x) + (1 / (1 - lnx/x)) * (1 - lnx / x)
当 x 趋近于正无穷时,lnx/x 趋近于 0,所以 dy/dx 趋近于 ln(1) + 1 = 1。
因此,当 x 趋近于正无穷时,y 趋近于 x。
所以,当 x 趋近于正无穷时,原式 x * e^y 趋近于 x * e^x。
因此,当 x 趋近于正无穷时,x * (1 - lnx/x)^x 的极限为 正无穷。
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