Question

如何由泰勒公式求1/(1- x)的泰勒级数？

Answer 1

要得到函数 f(x) = 1/(1-x) 的泰勒展开式，我们可以使用幂级数展开的方法。首先，我们需要找到函数在某个点的各阶导数。对于 f(x) = 1/(1-x)，我们可以使用求导法则得到：

f'(x) = (1-x)^(-2)
f''(x) = 2(1-x)^(-3)
f'''(x) = 2*3(1-x)^(-4)
...
f^n(x) = n!/(1-x)^(n+1)

然后，我们可以使用泰勒展开公式来表示 f(x)：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

将 a 设为 0，即展开点为 x = 0，代入函数 f(x) 和对应的导数，我们可以得到：

f(x) = f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

由于 f(0) = 1，而 f'(0) = 1，f''(0) = 2，f'''(0) = 2*3，以此类推，我们可以将它们代入展开式：

f(x) = 1 + x + (2x^2)/2! + (2*3x^3)/3! + ...

化简可得：

f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...

因此，函数 f(x) = 1/(1-x) 的泰勒展开式为 1 + x + x^2 + x^3 + ...。这是一个无穷级数，表示在给定条件下，函数可以近似地表示为该级数的和。