Question

f(x)的泰勒级数怎么求？

Answer 1

要求一个函数 f(x) 的泰勒级数展开，按照以下步骤进行：
1. 确定展开点：选择一个展开点 a，通常是对函数进行泰勒级数展开的某个特定点或者方便计算的点。
2. 计算函数的导数：计算函数 f(x) 在展开点 a 处的各阶导数。找出这些导数的特征或者它们的值。
3. 写出泰勒级数表达式：将函数 f(x) 的泰勒级数表示为一个无穷级数的形式。级数的形式通常为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3! + ...
其中 f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别表示函数 f(x) 在 a 点的一阶、二阶和三阶导数。
4. 简化表示：根据需要或要解决的问题，可能只需考虑级数展开的前几项，而不需考虑无穷级数的所有项。
通过以上步骤，可以得到一个函数 f(x) 的泰勒级数展开。这样的展开可以帮助近似计算函数的值，尤其是在展开点附近的范围内。需要注意的是，泰勒级数展开在某些情况下可能只适用于有限的区间或特定的 x 值，而不适用于整个定义域。在使用

Answer 2

函数 f(x) = 1/(1+x) 的泰勒展开式表示为：
f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ...
这是一个无限级数，它以 x 为变量展开，并且从 x^0 = 1 开始。每一项的系数交替为正负号，指数逐渐增加。由于这是一个几何级数，它只在特定范围内收敛。
当 x 的绝对值小于 1 时，该级数收敛，并且可以通过有限项来逼近 f(x) 的值。如果 x 的绝对值大于等于 1，那么级数将发散。
需要注意的是，泰勒展开式是以给定点附近的局部近似，因此其适用范围有限。在该例中，泰勒展开式适用于 x 的绝对值较小的情况。当 x 接近于 0 时，级数中的较高次幂项的贡献会逐渐减弱，但随着 x 的增大，级数的逼近效果会变差。