Question

sec^3(x)的不定积分是多少？

Answer 1

要计算sec^3(x)的不定积分，可以通过分部积分法来解决。分部积分法公式为：
∫ u dv = uv - ∫ v du
其中，u和v是可微函数。对于sec^3(x)，我们可以将其写成两个函数的乘积：u = sec(x) 和 dv = sec^2(x) dx。
首先，求出du和v：
du = sec(x) * tan(x) dx
v = ∫ sec^2(x) dx = tan(x)
现在将上述结果代入分部积分公式：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - ∫ tan(x) * sec(x) * tan(x) dx
化简得：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - ∫ sec(x) * tan^2(x) dx
再次运用分部积分法来计算∫ sec(x) * tan^2(x) dx：
令 u = tan(x) 和 dv = sec(x) * tan(x) dx
则 du = sec^2(x) dx 和 v = sec(x)
将上述结果代入分部积分公式：
∫ sec(x) * tan^2(x) dx = tan(x) * sec(x) - ∫ sec^3(x) dx
现在将这个结果代入之前的式子：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - (tan(x) * sec(x) - ∫ sec^3(x) dx)
将∫ sec^3(x) dx移到等号右边：
2∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - tan(x) * sec(x)
化简得：
∫ sec^3(x) dx = (1/2) * sec(x) * tan(x) + C
其中，C是积分常数。所以，sec^3(x)的不定积分为(1/2) * sec(x) * tan(x) + C。

Answer 2

详细解题过程如下图片：