Question

一道大学概率论题 求解

甲、乙两人比赛设计，每个回合中取胜者得1分。假设每个回合中，甲胜的概率为a，乙胜得概率为b，a+b=1，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜，求甲最终获胜的概率.

这是课本上的一道题……做不出来 问老师了 他草草做了一下 得出的结论和比赛场数这个参数有关 我觉得不应该是那样……额 这道题的参考答案是a^2/(1-2ab) 求高手解析~！！！谢~
非常感谢呀……看懂了 很好理解 那个 可以顺便再说一下第一种方法不~？(*^__^*) ……

Answer 1

有两种方法可以解，一种是算出比赛结束时比赛进行的场数的概率分布来求解；
这里说第二种，称为首局分析法。
用A表示最终甲胜。
由全概公式可得：
则P(A)=P(A|甲赢第一局)*P(甲赢第一局）+P(A|乙赢第一局）*P(乙赢第一局)
P（A|甲赢第一局)表示在甲先赢一局的情况下，获胜的概率。那么如果他再赢一局就可以获胜。但是如果他接下来一局输掉了，那又回到两人平分的情况，这相当于一场都还没比。
所以，P（A|甲赢第一局)=P(甲再赢一局）+P(甲输掉一局）*P(A) = a+b*P(A);
而在乙先赢一局的情况下，甲要获胜则下一局必须取胜，同时两人回到刚开始的不胜不负的状态。所以
P(A|乙胜第一局）=a*P(A);
综上，我们可以得到关于P（A）的方程：

P（A)=a*(a+b*P(A))+b*a*P(A)
解此方程即得：
P(A)=a^2/(1-2ab)

囧。。。。另一种就是傻乎乎的硬算啦。。。你假设第n局甲获胜且比赛结束，那么就可以写出具体的表达式，估计就是你老师得到的那个表达式。
然后对所有n求和，这应该是一个无穷级数，而且肯定是收敛的，算出的结果应该是一样的。思路大概就是这样了，表达式不难求，肯定是最后n-1局和n局甲获胜，而前面都不可能出现连胜的，所以必定是甲赢一局，乙赢一局，这样就很容易写出表达式啦。然后关于n求和，另n趋向于无穷，就得到答案了，自己算算看吧~

加分加分加分！！！