Question

用微分求sin29度的近似值

请写出求解过程，尽量详细点

Answer 1

一般只需要一阶微分项计算近似值
公式为f(x0+△x)=f(x0)+f'(x0)*△x
以下x0=30,
△x=3
sin33=sin(30+3)
=sin30+(sin30)'x(3π/180)
这里的3π/180是度转换为弧度的意思。
=0.5+πcos30/60
=0.5+π√3/120
≈0.5453
如果用泰勒公式加入二阶微分项，则近似值更精确，如下：
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n)
(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
取上右式前三项，如下：
sin33=sin(30+3)
=sin30+(sin30)'x(3π/180)+(sin30)''x(3π/180)^2/2
=0.5+πcos30/60-π^2xsin30/7200
=0.5+π√3/120-π^2/14400
≈0.5446
附：精确6位有效数值
sin33度=0.544639

Answer 2

设f(x)=sinx,则f'(x)=cosx
令 x0=π/6,Δx=-π/180,
则 f(x0)=1/2,f'(x0)=√3/2
∴ sin29º≈1/2+(√3/2)(-π/180)
≈0.48485