Question

三道高中数学题

1. 甲、乙两物体分别从相距70M的两处同时相向运动，甲第一分钟走2M，以后每分钟比前1分钟多走1M，乙每分钟走5M。 （1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇。（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1M，乙继续每分钟走5M，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

2.在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c,已知向量M=（cos3A/2,sin3A/2) N=(cosA/2,sinA/2) ,且满足

_

｜M+N｜= √3

(1)求角A的大小~

（2）若b+c=根号下3乘a（a在根号下外），是判断三角形ABC的形状

3.已知数列{An}的各项为正数，其前n项的和Sn=[(An+1)/2]²，设bn=10-an(n∈N)

(1)求证：数列{An}是等差数列，并求数列{An}的通项公式

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值

（3）求数列{｜bn｜}(n∈N)的前n项和~

Answer 1

1.(1)设甲、乙开始运动后，x分钟相遇
甲每分钟走的路程呈等差数列排列
则甲第x分钟走：2+1×(x-1)=x+1 米
甲走的总路程是：(2+x+1)x/2=x(x+3)/2 米
∴5x+x(x+3)/2=70
10x+x²+3x=140
x²+13x-140=0
(x+20)(x-7)=0
x=-20（舍） 或 x=7
答：甲、乙开始运动后，7分钟相遇。

(2)设甲、乙开始运动后，x分钟第二次相遇
5x+x(x+3)/2=70×3
10x+x²+3x=420
x²+13x-420=0
(x+28)(x-15)=0
x=-28（舍） 或 x=15
答：甲、乙开始运动后，15分钟第二次相遇。

2.(1)向量M+向量N=(cos3A/2+cosA/2，sin3A/2+sinA/2)
｜M+N｜²
=(cos3A/2+cosA/2)²+(sin3A/2+sinA/2)²
=cos²3A/2+2cos3A/2cosA/2+cos²A/2+sin²3A/2+2sin3A/2sinA/2+sin²A/2
=(cos²3A/2+sin²3A/2)+(cos²A/2+sin²A/2)+2(cos3A/2cosA/2+sin3A/2sinA/2)
=1+1+2cos(3A/2-A/2)
=2+2cosA
=3
cosA=1/2
A=π/3

(2)b+c=√3a
(b+c)²=3a²
a²=(b+c)²/3
而cosA=(b²+c²-a²)/2bc
=[b²+c²-(b+c)²/3]/2bc
=[3b²+3c²-(b+c)²]/6bc
=[3b²+3c²-(b²+2bc+c²)]/6bc
=(2b²-2bc+2c²)/6bc
=1/2
2b²-2bc+2c²=3bc
2b²-5bc+2c²=0
(b-2c)(2b-c)=0
b=2c 或 b=c/2
当b=2c时，a²=(b+c)²/3=(2c+c)²/3=3c²
a²+c²=3c²+c²=4c²=b²
△ABC是以∠C为直角的直角三角形
当b=c/2时，a²=(b+c)²/3=(c/2+c)²/3=3c²/4
a²+b²=3c²/4+c/4²=c²
△ABC是以∠B为直角的直角三角形
终上所述：△ABC是直角三角形

3.(1)证明：S(n+1)-Sn
=[(a(n+1)+1)/2]²-[(an+1)/2]²
=[a²(n+1)+2a(n+1)+1]/4-(a²n+2an+1)/4
=a(n+1)
4a(n+1)=[a²(n+1)+2a(n+1)+1]-(a²n+2an+1)
a²n+2an+1=a²(n+1)-2a(n+1)+1
(an+1)²=[a(n+1)-1]²
∵{an}的各项为正数
∴an+1>0 a(n+1)+1>0
即an+1=a(n+1)-1
则a(n+1)-an=2
所以数列{an}是等差数列
首项a1=S1=[(a1+1)/2]²
4a1=(a1+1)²
4a1=a²1+2a1+1
a²1-2a1+1=0
(a1-1)²=0
a1-1=0
a1=1
公差为2
则通项公式an=1+2(n-1)=2n-1

(2)bn=10-an=10-(2n-1)=11-2n
b1=11-2=9
b(n+1)-bn=[11-2(n+1)]-(11-2n)=-2
数列{bn}是首项为9，公差为-2的等差数列
Tn=(9+11-2n)n/2=n(20-2n)/2=-n²+10n
令bn≥0
即11-2n≥0
解得：n≤11/2
即当n=5时，Tn取得最大值
T5=5×(20-10)/2=25

(3)设数列{｜bn｜}的前n项和是Pn
当n≤5时，bn>0
|bn|=bn
则Pn=Tn=-n²+10n
当n≥6时，bn<0
|bn|=|11-2n|=2n-11
从|b6|开始，|bn|是公差为2的等差数列
|b6|+|b7|+|b8|+……+|bn|
=1+3+5+……+(2n-11)
=(1+2n-11)(n-5)/2
=(2n-10)(n-5)/2
=(n-5)²
=n²-10n+25
则Pn=T5+|b6|+|b7|+|b8|+……+|bn|
=25+n²-10n+25
=n²-10n+50

Answer 2

1.(1)甲每分钟走的距离构成等差数列a1=2,d=1,sn=na1+n(n-1)d/2=n(n+3)/2
5n+n(n+3)/2=70 n=7(n=-20舍去)
开始运动7分钟后相遇。

（2）5n+n(n+3)/2=210 n=15(n=-28舍去)
15分钟后第二次相遇。

2.(1)｜M+N｜^2=(cos3A/2+cosA/2)^2+(sin3A/2+sinA/2)^2=3
2+2cosA=3
cosA=1/2 A=60º
(2)b+c=√3a a^2=[(b+c)^2]/3
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA
解得：b=c/2或b=2c
三角形ABC为直角三角形，b=c/2时，C为直角
b=2c时，B为直角

3.（1）Sn=[(An+1)/2]²
令(An+1)/2=n, Sn=(An+1)n/2 An=2n-1
数列An为首项A1=1,公差d=2的等差数列。

（2）bn=10-An=10-2n+1=11-2n
{bn}是首项为9，公差为-2的等差数列
Tn=n(10-n)
=25-(n-5)^2
当n=5时，Tn有最大值25

（3）｛｜bn｜｝前n项和为Un
n<=5时，Un=Tn=n(10-n)
n>5时， |b6|=2n-11=1
Un=T5+(1+2n-11)(n-5)/2=25+(n-5)^2=n^2-10n+50

Answer 3

这么多积分，以后直接问我得了 792985651