Question

高分求助大学概率论题目

甲乙丙三人比赛，规定每局两人比赛，胜者与第三人比赛，依此循环，直至有一人连胜两次，此人为冠军，而每次比赛双方圣的概率都是1/2.现假设甲乙先比赛，求各人获得冠军的概率

Answer 1

首局分析法
A表示甲最终赢，B表示乙最终赢，C表示丙最终赢。

甲乙先比。
由全概公式可知：
P(A)=P(A|甲赢第一局)*P(甲赢第一局)+P(A|甲负第一局）*P(甲负第一局)

P(A|甲赢第一局)表示在先赢一局的情况下甲获胜的概率。如果他再赢一局就已经赢了。但是如果下一局输了，那么后一局丙必须输给乙（否则丙已经获胜），那么第四局甲必须赢乙（否则乙已经获胜）此时情况和甲先赢一局的状况相同。

因此我们有，P(A|甲赢第一局) = P(甲赢下一局）+ P(丙赢下一句）*P(乙赢下一局）*P(甲赢下一局）*P(A|甲赢第一局)
=1/2+1/2*1/2*1/2*P(A|甲赢第一局）

由此解得，P(A|甲赢第一局)=4/7

同理，如果甲输了第一局，那么下一局乙必须输给丙，后一局丙必须输给甲。此时的情况又和甲先赢一局时相同。
因此，P(A|甲负第一局）= 1/2*1/2*P(A|甲赢第一局) = 1/2*1/2*4/7 = 1/7

那么带回原公式可知
P(A) = 1/2*4/7 + 1/2*1/7 = 5/14
乙和甲地位平等，所以P(B)=P(A)=5/14
而丙为P(C)=1-P(A)-P(B)=4/14=2/7

综上，甲乙获胜概率为5/14，丙获胜概率为4/14

Answer 2

本题用到了条件概率的知识
甲：甲若获得冠军，第一场必赢，胜的概率1/2，在第一场胜的条件下，第二场有胜负两种可能，故
（1/2）*（1/2）+（1/2）*0=1/4

乙丙同理，因每次比赛双方圣的概率都是1/2.故概率一样，这样才体现公平性