Question

什么是计算定积分的高斯求积公式？

Answer 1

高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单说明一下思想（仅仅是说明，而非证明）：

假设现在要求 f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次 f(x)的值，你会怎么做呢？显然我们会选取一点 x0,计算出 f(x0),然后用 A = f(x0) * 2 作为近似值。现在问题是怎样选取 x0，使得结果尽可能精确呢？直觉告诉我们选取区间中点最合适，这也就是所谓的中点公式，也就是1点高斯求积公式。

如果选取个点作为计算节点，同样可以按公式：A = k1 * f(x1) + k2 * f(x2) + ... + kn * f(xn) 来计算近似值，关键就是如何确定节点 xi 和系数 ki （i = 1,2,3,...,n)

理论证明对于 n个节点的上述求积公式，最高有 2n - 1 次的代数精度，高斯公式就是使得上述公式具有 2n - 1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，最常见的是利用勒让德多项式，具体的这里不方便说，你查查相关资料吧。

Answer 2

看如下图