已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,证明:a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关
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设
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4-a1)=0
整理后 得到
(k1-k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0
由于a1,a2,a3,a4 线性无关，
则k1-k4=k1+k2=k2+k3=k3+k4=0
解得k1=k2=k3=k4=0
所以a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4-a1线性无关
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4-a1)=0
整理后 得到
(k1-k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0
由于a1,a2,a3,a4 线性无关，
则k1-k4=k1+k2=k2+k3=k3+k4=0
解得k1=k2=k3=k4=0
所以a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4-a1线性无关
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