Question

f(x）是分段函数①当|x|≥1时为x²②当|x|〈1时为x

g(x)是二次函数 若f(g(x)）的值域是[0，＋∞） 则g(x)的值域是多少

Answer 1

方法一：画图
f(g(x)）的值域是[0，＋∞）
根据图像可以看出，g(x)≥0 或 g(x)≤-1
即g(x)的值域是：(-∞，-1] 或 [0，＋∞）

方法二：
当x≤-1时，f(x)=x²
f(x)≥1
当-1<x<1时，f(x)=x
-1<f(x)<1
当x≥1时，f(x)=x²
f(x)≥1
则在x≤-1或x≥1时，f(x)≥0恒成立
在-1<x<1时，令x≥0
解得：x≥0
即0≤x<1
终上所述；若f(x)≥0，x的范围是：(-∞，-1] 或 [0，＋∞）
即g(x)的值域是：(-∞，-1] 或 [0，＋∞）

Answer 2

1、由0<a<b,画函数图像，所以有0<a<1<b
即f(a)=1/a-1,f(b)=1-1/b

由f(a)=f(b)得
1/a-1=1-1/b
1/a+1/b=2

2、由于x在[1,+∞）上是增函数，所以1/x是减函数，所以-1/x是增函数，即1-1/x是增函数

f(1)=1-1/1=0
f（+∞)=1-1/∞=1
由于x不能取到∞，所以f(x)不能取到1
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数，其值域是[0,1)

3、lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)1/x-1
=∞

lim(x→1)f(x)
=lim(x→+∞)1-1/x
=1-1
=0

因为f(x)的定义域不为0，而值域里有0的存在，所以不存在这样的a
有f（x)的定义域和值域都能到∞，所以也不存在这样b满足包含b的集合

所以不存在这样的a，b满足函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]