Question

一道初中数学几何证明题 高手快来啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 坐等数学帝降临

如果一个三角形的面积和周长都被一条直线所平分，求证：该直线一定通过这个三角形的内心。

请把过程写详细些。 谢了。
平分周长和面积的直线不一定就是中线 如果一定是的话就把问题特殊化了。 这个问题是建立在任意三角形上的。。。

这道题是我输错了 本来是一道选择题 答案选内心 我把它改成证明题写上来的。 这样的话 如果是中线 就应该选内心 和 重心了。。

Answer 1

(1)当分成是两个三角形的情况
根据三角形的面积被平分
可知这条线段是中线
又结合周长被平分
可推出两腰相等
根据三线合一的知识
等腰三角形的中线即是角平分线
故该直线一定通过这个三角形的内心
（2）当分成的是一个四边形和一个三角形内个的情况
我们可以设这条线上找一点到三边的距离分别为h1、h2、h3，且和h1=h2
分成的线段为a、b、c、e、f
由a+b+c=e+f eh1+fh2=ah1+ch2+bh3
将等式化简可以得到h1=h3
故直线一定过内心

Answer 2

证明：
这条直线把原三角形分成面积相等的两个三角形，则因为这两个三角形等高，所以他们的底一定相等，也就是说这条直线把三角形对边分成相等的两部分，也就是这条直线是三角形的中线。
既然他是三角形的中线，由周长被平分可知三角形另外两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形底边上的高、中线、角平分线是重合的。
所以该直线一定通过这个三角形的内心。

Answer 3

一个三角形的面积被一条直线所平分，用s=a*h/2,h相等，该直线必为中线
一个三角形的周长都被一条直线所平分，该直线又为中线，未被平分的那两条边相等，又因该直线为中线，该直线又为垂线，角平分线，则该直线一定通过这个三角形的内心

平分周长的不知道，但平分面积的直线一定就是中线，而且内心本来就是特殊化的啊

Answer 4

解析法：基本思路是，求出这条直线方程，并求出这条直线与其中一个角平分线交点坐标，根据条件化简交点坐标，得到这个交点就是内心。

三角形至于平面直角坐标系中，A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA,bsinA)
则内心O坐标为（bc(1+cosA)/(a+b+c)，bcsinA/(a+b+c)）
一条直线DE平分△ABC的周长和面积，交AC与D，交AB与E
设AD=m，AE=n，则D(mcosA,msinA)，E(n,0)
DE直线方程为y=msinA(x-n)/(mcosA-n),∠A平分线所在直线方程为：y=xtan(A/2)
这两条直线O'的坐标可得：（mn(1+cosA)/(m+n)，mnsinA/(m+n)）——解方程的过程得到结果需用三角公式变换得到这个结果

由直线DE平分△ABC的周长和面积，可得：
S△ABC=2S△ADE,bcsinA /2=2*mnsinA /2,mn=bc/2
m+n=(a+b+c)/2
带入O'坐标得O'坐标为：（bc(1+cosA)/(a+b+c)，bcsinA/(a+b+c)）
为△ABC内心