Question

一道很难的数学题，求解！！

函数f(x)=sin^2x+√3sinxcosx在区间〔π/4,π/2〕上的最大值是？

注：^2是平方的意思！ 求这道题的解法！
好的话会追加分！急急急

Answer 1

f(x)=sin²x+√3sinxcosx
分析：根据降幂公式--sin²x=（1-cos2x)/2；sinxcosx=sin2x/2
得到f(x)=(1-cos2x)/2+√3/2sin2x
展开f(x)=1/2-1/2cosx2x+√3/2sin2x （1）
又由sin(π/6)= 1/2； cos(π/6)= √3/2代换到（1）中
f(x)=1/2-sin(π/6)cos2x+cos(π/6)sin2x=sin(2x-π/6)+1/2
注：
cos(π/6)sin2x-sin(π/6)cos2x=sin(2x-π/6）
∵区间〔π/4,π/2〕则π/3<2X-30<（5/6）π
∴sin(2x-π/6）最大值1
当sin(2x-π/6）取1时f(x)有最大值3/2

沈阳智萌教育 O(∩_∩)O大丹老师答疑

Answer 2

f(x)=(1-cos2x)/2+√3/2sin2x
f(x)=1/2-1/2cosx2x+√3/2sin2x
f(x)=1/2+sin(2x-π/6)
π/4<x<π/2
π/2<2x<π
π/3<2x-π/6<5π/6
所以最大值是f(x)=1/2+1=3/2

Answer 3

f(x)=（1-cos2x)/2++√3/2sin2x=sin(2x-π/6)+1/2
因为在区间〔π/4,π/2〕上，所以2π/3＜2-π/6＜5π/6
所以sin(2x-π/6）的最大值是1，所以f(x)最大值3/2

Answer 4

解：原式可以化简：f(x)=sin^2x+√3sinxcosx=1/2+√3/2sin2x-1/2cos2x=1/2+sin(2x-π/6),因为在区间〔π/4,π/2〕上，所以2x-π/6的范围为：（π/3，5π/6）所以sin(2x-π/6)属于（1/2，1），所以f(x)属于（1，3/2），所以f(x)的最大值为1.5