Question

已知函数f(x)=(x^2-mx+m)e^x,期中m属于R

1 若函数f(x)存在零点，求实数m的取值范围
2 当m＜0时，求函数f(x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由

Answer 1

1.即x^2-mx+m=0有实根，m^2-4m>=0
化简得: m属于（-无穷，0]U[4,+无穷）

2.f'（x)=[x^2-(m-2)x]e^x
因为e^x>0
看f(x)的单调区间只需看x^2-(m-2)x的正负
m<0,所以m-2<0
于是f(x)在（-无穷，m-2]上单调递增，[m-2,0]上单调递减，[0，+无穷）上单调递增

于是判断f(x)是否存在最小值，只需比较f(-无穷）与极小值f(0)的大小，
显然f(-无穷）非负，而f(0)=m<0
于是f(x)在x=0时取最小值m